向量定义
n 个有次序的数$a_1,a_2,…,a_n$所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i个数$a_i$称为第i个分量.
向量的长度
向量$U$的长度用||$U$||来表示： 第一，左右各两根竖线，这样可以和实数的绝对值相区别； 第二，学到矩阵A的时候，会知道|A|表示的是矩阵A的行列式，这是一个可正可负的实数，而长度为非负数，所以用||$u$||来和行列式进行区别
零向量性质：
- 长度：零向量的长度为0
- 方向：零向量指向任意方向
- 夹角：因为零向量指向任意方向，所以它与某一向量的夹角为任意角度
- 平行与正交：因为夹角任意，所以零向量与任意向量平行、正交
向量组
若干同维数的列向量（或者同维数的行向量）所组成的集合，叫做向量组。 比如同维数的向量$a_1,a_2,…,a_m$，可以组成向量组$A$， 通常记作：$A:a_1,a_2,…,a_m$ 或 $A={a_1,a_2,…,a_m}$
向量组的线性相关性
给定向量组 $A:a_1,a_2,…,a_m$如果存在不全为零的数$k_1,k_2,…, k_m$，使$k_1a_1 + k_2a_2 + … + k_ma_m = 0$， 则称向量组$A$ 是线性相关的，否则称它线性无关.
线性无关、线性相关可以说是线性代数的核心概念之一
向量空间
设V为一向量组，如果V非空，且V对于向量的加法及数乘两种运算封闭， 那么就称V为向量空间。所谓封闭，是指在V中向量进行数乘和加减，其结果依然在V中。 具体的说，就是: 若$a \in V,b \in V，则a+b \in V$ 若$a \in V,k \in \mathbb{R}，则ka \in V$
所有n维向量构成的集合是一个向量空间 $\mathbb{R^n}： \mathbb{R^n}={(x_1,x_2,…,x_n)|n\in \mathbb{N},x_n\in\mathbb{R}},\quad n\ge 1$
等价向量组
设有两个向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$ 及$B:b_1,b_2,…,b_n$， 若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价，也可以说A和B是等价向量组。
简单理解就是A和B能互相表示，也就是同处一个空间。
张成空间
某向量组$A={v_1,v_2,…,v_p}$，其所有线性组合构成的集合为向量空间，也称为向量组A的张成空间，记为$span(v_1,v_2,…,v_p)$，即：
$V=span(v_1,v_2,…,v_p)={k_1v_1+k_2v_2+…+k_pv_p,k_{1,2,…,p}\in\mathbb{R}}$
也称$span(v_1,v_2,…,v_p)$为向量组A所张成。
基于最大无关组所能表示的最大空间。
举例向量组和张成空间的关系：向量组$A$是三维向量组，但张成的向量空间$V$是三维空间中的平面，是二维向量空间
最大无关组
设有向量组A，如果在A中能选出r个向量$a_1,a_2,…,a_r$满足： 向量组$A_0={a_1,a_2,\dots,a_r}$线性无关 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组$A_0$是向量组A的一个最大线性无关组，简称最大无关组
向量组的秩
假设向量组A的最大无关组为： $A_0={a_1,a_2,…,a_r}$ $A_0$的向量个数r称为向量组A的秩，记做rank(A)，有时也记作r(A)。
类似于空间的复杂度了,比如是1维，2维，3维，还是多维等
基的定义
V为向量空间，如果其中的某向量组： $A={a_1,a_2,…,a_r}$
是V的最大无关组，那么向量组A被称为向量空间V的一个基。
对于向量空间而言，基并不唯一
基与坐标
在向量空间V中取一个基$a_1,a_2,…,a_r$，那么V中某向量$x$可唯一地表示为： $x=k_1a_1+k_2a_2+…+k_ra_r$
其中，$(k_1,k_2,…,k_r)$称为向量$x$在基$a_1,a_2,…,a_r$中的坐标。
如果将基$a_1,a_2,…,a_r$简称为基$a$的话，那么$x$还可以写作： \(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_r\end{pmatrix}_{\boldsymbol{a}}\)
其中，下标$ a $指明该坐标所在的基。
选择不同的基，实际上就是在向量空间中建立了不同的坐标系。
自然基
所有的$\mathbb{R}^n$都有自然基： \(e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\quad\cdots,\quad e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\) 并且约定，如果不明确说是在哪个基下，那么就是在自然基下。
自然基的坐标是没有下标的，非自然基通常要带下标以示区分
欧几里得空间
为了可以推演欧氏几何，就需要给向量空间添加长度和角度，这样就得到了：
欧几里得空间=向量空间+长度和角度
点积
先引入一个公式：向量余弦计算公式
假设定义一个新的运算方法，将之称为向量的点积:
\[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=({a_1},{a_2})\cdot({b_1},{b_2})={a_1b_1}+{a_2b_2}\]那么向量空间$ \mathbb{R}^2 $中的长度和角度的计算就可以通过点积来完成：
长度
\[||\boldsymbol{a}||=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\implies ||\boldsymbol{a}||=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}\]角度
\[cos\theta=\displaystyle\frac{a_1b_1+a_2b_2}{||\boldsymbol{a_{}}||||\boldsymbol{b_{}}||}\implies cos\theta=\displaystyle\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{||\boldsymbol{a_{}}||||\boldsymbol{b_{}}||}\]扩展到n维
向量
\[\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} , \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\]的点积(dot product)，或称内积(inner product)，定义为：
\[\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\]点积还可以称为数量积或者标量积，这是因为两个向量通过点积运算之后的结果是数量（标量）。
注意：通过点积计算长度、角度时，向量的坐标必须在自然基下
点积性质
正交
延伸一个概念：
正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广，若两向量的点积为0，则称它们是正交的。
章节总结
先认识向量，然后把同维数的向量放在集合中构成了向量组，又通过向量组得到张成空间，也就是关注的核心，向量空间，再通过基给出了向量的坐标，最后通过点积给出了向量的长度和角度。
