系数矩阵

未知数的名字x、y根本不重要，所以可把未知数的系数提出来，用一种称为矩阵的紧凑阵列来表示，该阵列称为系数矩阵：

增广矩阵

如果把等号右边的数字一起提出来，那么称为增广矩阵，有的书本也会把右边的数字用竖线隔开：

矩阵定义

由$m\times n$个数$a_{ij}(i=1,2,\dots m;j=1,2\dots n)$排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称$m\times n$矩阵。为表示这些数字是一个整体，总是加一个括弧，下面就表示了矩阵A：

可以用$a_{ij}$或$a_{i,j}$来表示该矩阵A的第i行j列的数字，刚才的矩阵还可以简记为：

为了表示矩阵的行数和列数，$m\times n$矩阵A也记作$A_{m\times n}$。

矩阵是作为线性方程组的标记法引入进来的

方阵

行数列数相等，且都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，可简记为$A_n$。比如下面是二阶方阵和三阶方阵：

零矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做O。比如下面是两个零矩阵：

行阶梯形矩阵

非零矩阵若满足：

1. 非零行在零行的上面

2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边

3. 某一先导元素所在列下方元素都是零

满足上述要求的矩阵看上去像是阶梯状：

所以称为行阶梯形矩阵，阶梯矩阵中的非零行的先导元素称为主元（先导元素指的是非零行中最左边的非零元素）。

行最简形矩阵

若A是行阶梯形矩阵，并且还满足:

1. 非零行的先导元素为1
2. 先导元素所在的列的其它元素均为0

则称A为行最简形矩阵，行最简形矩阵类似于：

对角矩阵

若n阶方阵如下：

对角线以外的元素都是0，这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，也记作：

单位阵

如果对角阵的对角线上的元素全为1：

该对角阵称为n阶单位矩阵（Identity matrix），或者简称为单位阵。在国内教材中，单位阵一般用E表示。

初等行矩阵

在单位阵上应用这三种初等行变换一次得到的矩阵称为初等行矩阵，也就是下列表格中最右的矩阵：

利用初等行矩阵，可以对目标矩阵做倍加，倍乘，对换三种操作。

同型矩阵

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。

矩阵加法

设有两个$m\times n$矩阵$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，那么矩阵A和B的和记做A+B，规定为：

矩阵加法满足以下规律：

矩阵数乘

数k与矩阵A的乘积记作：

规定为：

$-A$称为矩阵$A$的负矩阵，根据数乘规则有$-A=(-a_{ij})$，那么：

矩阵数乘满足以下规律（设$A、B$为同型矩阵，$\lambda 、\mu$为数）：

矩阵乘法

设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$矩阵，那么规定矩阵$A$与矩阵$B$的乘积是一个$m\times n$矩阵$C=(c_{ij})$，其中：

并把乘积记作：

矩阵AB相乘，是需要满足一定合法性的：

• $m\times n$的矩阵只能和$n\times p$矩阵相乘
• 相乘后的矩阵大小为$m\times p$

矩阵乘法满足以下规律: \($$\begin{array}{c}\\ \lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\\ (AB)C=A(BC)\\ A(B+C)=AB+AC\\ \end{array}$$\)

转置矩阵

把矩阵$A$的行换成同序数的列，该操作称为矩阵的转置运算。转置运算后可以得到一个新矩阵，该矩阵称为$A$的转置矩阵，记作$A^{\mathrm{T}}$。

或者用符号表示如下：

转置矩阵有如下性质:

• $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A$
• $(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$
• $(A^{\mathrm{T}}{)}^n=(A^n{)}^{\mathrm{T}}$
• $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$

对称矩阵

若$A^T=A$ 则矩阵$A$称为对称矩阵。

反对称矩阵

若 $A^T=-A$ 则矩阵$A$称为反对称矩阵。

矩阵函数

假设$\mathit{x}\in X，\mathit{y}\in Y$，可以证明矩阵$A$代表的$X$、$Y$间的对应关系满足：

• $X$中的所有元素都有$Y$中的元素与之对应
• $X$中的元素只能有唯一的$Y$中的元素与之对应

所以说矩阵$A$是矩阵函数。

为了突出这一点，有时候又将矩阵乘法写成函数的形式，这两种形式是等价的： \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\iff A(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}\)

另外矩阵函数$A\mathit{x}=\mathit{y}$满足：

• 齐次性：$A(m\mathit{x})=m(A\mathit{x})$
• 可加性：$A(\mathit{x}+\mathit{y})=A(\mathit{x})+A(\mathit{y})$

所以矩阵函数是线性函数。

虽然说矩阵函数是线性函数，但是反过来，并不是所有的线性函数都可以改写为矩阵函数。比如 微分和积分 函数

常用矩阵(二维)

旋转矩阵

单位矩阵

镜像矩阵

伸缩矩阵

剪切矩阵