系数矩阵
\[\begin{cases} \ \ x+2y=3\\ 3x+4y=5 \end{cases}\]未知数的名字x、y根本不重要，所以可把未知数的系数提出来，用一种称为矩阵的紧凑阵列来表示，该阵列称为系数矩阵：
\[\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}\]增广矩阵
如果把等号右边的数字一起提出来，那么称为增广矩阵，有的书本也会把右边的数字用竖线隔开：
\[\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix} ,\quad \left ( \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{matrix}& \begin{matrix} 3\\ 5 \end{matrix} \end{array} \right )\]矩阵定义
由$m\times n$个数$a_{ij}(i=1,2,…m;j=1,2…n)$排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称$m\times n$矩阵。为表示这些数字是一个整体，总是加一个括弧，下面就表示了矩阵A：
\[A=\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}}_{\large n列}\left.\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}\right\}m行\]可以用$a_{ij}$或$a_{i,j}$来表示该矩阵A的第i行j列的数字，刚才的矩阵还可以简记为：
\[A=(a_{ij})=(a_{i,j})\]为了表示矩阵的行数和列数，$m\times n$矩阵A也记作$A_{m\times n}$。
矩阵是作为线性方程组的标记法引入进来的
方阵
行数列数相等，且都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，可简记为$A_n$。比如下面是二阶方阵和三阶方阵：
\[A_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\]零矩阵
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做O。比如下面是两个零矩阵：
\[\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}\]行阶梯形矩阵
非零矩阵若满足：
-
非零行在零行的上面
-
某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
-
某一先导元素所在列下方元素都是零
满足上述要求的矩阵看上去像是阶梯状：
所以称为行阶梯形矩阵，阶梯矩阵中的非零行的先导元素称为主元（先导元素指的是非零行中最左边的非零元素）。
行最简形矩阵
若A是行阶梯形矩阵，并且还满足:
- 非零行的先导元素为1
- 先导元素所在的列的其它元素均为0
则称A为行最简形矩阵，行最简形矩阵类似于：
对角矩阵
若n阶方阵如下：
\[\Lambda_{n}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&\lambda_n\end{pmatrix}\]对角线以外的元素都是0，这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，也记作：
\[\Lambda_{n}=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)\]单位阵
如果对角阵的对角线上的元素全为1：
\[I_n=\begin{pmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&1\end{pmatrix}\]该对角阵称为n阶单位矩阵（Identity matrix），或者简称为单位阵。在国内教材中，单位阵一般用E表示。
初等行矩阵
在单位阵上应用这三种初等行变换一次得到的矩阵称为初等行矩阵，也就是下列表格中最右的矩阵：
\[\begin{array}{c|c} \\ \boldsymbol{r_1}'=\boldsymbol{r_1}+k\boldsymbol{r_2}\quad &\quad \begin{pmatrix}1&{\color{red}{k}}&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\ \\ \hline \\ \boldsymbol{r_1}'=k\boldsymbol{r_1} (k\neq 0)\quad & \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{k}}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\ \\ \hline \\ \boldsymbol{r_1}\leftrightarrow \boldsymbol{r_2}\quad & \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{0}}&{\color{red}{1}}&{\color{red}{0}}\\ {\color{red}{1}}&{\color{red}{0}}&{\color{red}{0}}\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\ \\ \end{array}\]利用初等行矩阵，可以对目标矩阵做倍加，倍乘，对换三种操作。
同型矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。
矩阵加法
设有两个$m\times n$矩阵$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，那么矩阵A和B的和记做A+B，规定为：
\[A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\ ...&...&&...\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\]矩阵加法满足以下规律：
\[\begin{array}{c} \\ \quad A+B=B+A\quad\\ \quad (A+B)+C=A+(B+C)\quad\\ \\ \end{array}\]矩阵数乘
数k与矩阵A的乘积记作：
\[kA\quad 或\quad Ak\]规定为：
\[kA=Ak= \begin{pmatrix} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\ \cdots&\cdots& &\cdots\\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{pmatrix}\]$-A$称为矩阵$A$的负矩阵，根据数乘规则有$-A=(-a_{ij})$，那么：
\[A+(-A)=O\]矩阵数乘满足以下规律（设$A、B$为同型矩阵，$\lambda、\mu$为数）：
\[\begin{array}{c} \\ \quad (\lambda\mu) A=\lambda(\mu A)\quad\\ \\ \quad \begin{aligned}(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A\\\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\end{aligned}\quad\\ \\ \end{array}\]矩阵乘法
设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$矩阵，那么规定矩阵$A$与矩阵$B$的乘积是一个$m\times n$矩阵$C=(c_{ij})$，其中：
\[c_{ij}=\boldsymbol{a}_{i*}\cdot\boldsymbol{b}_{*j},\quad (i=1,\cdots,m;j=1,\cdots,n)\]并把乘积记作：
\[C=AB\]矩阵AB相乘，是需要满足一定合法性的：
- $m\times n$的矩阵只能和$n\times p$矩阵相乘
- 相乘后的矩阵大小为$m\times p$
矩阵乘法满足以下规律: \(\begin{array}{c|c} \\ \quad \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\quad\\ \quad (AB)C=A(BC)\quad\\ \quad A(B+C)=AB+AC\quad\\ \\ \end{array}\)
转置矩阵
把矩阵$A$的行换成同序数的列，该操作称为矩阵的转置运算。转置运算后可以得到一个新矩阵，该矩阵称为$A$的转置矩阵，记作$A^\mathrm{T}$。
或者用符号表示如下：
\[A=(a_{ij}),\quad A^\mathrm{T}=(a_{ji})\]转置矩阵有如下性质:
- $(A^\mathrm{T})^\mathrm{T}=A$
- $(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}$
- $(A^\mathrm{T})^n=(A^n)^\mathrm{T}$
- $(A+B)^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}$
对称矩阵
若$A^T=A$ 则矩阵$A$称为对称矩阵。
反对称矩阵
若 $A^T=-A$ 则矩阵$A$称为反对称矩阵。
矩阵函数
假设$\boldsymbol{x}\in X，\boldsymbol{y}\in Y$，可以证明矩阵$A$代表的$X$、$Y$间的对应关系满足：
- $X$中的所有元素都有$Y$中的元素与之对应
- $X$中的元素只能有唯一的$Y$中的元素与之对应
所以说矩阵$A$是矩阵函数。
为了突出这一点，有时候又将矩阵乘法写成函数的形式，这两种形式是等价的： \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\iff A(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}\)
另外矩阵函数$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$满足：
- 齐次性：$A(m\boldsymbol{x})=m(A\boldsymbol{x})$
- 可加性：$A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A(\boldsymbol{x})+A(\boldsymbol{y})$
所以矩阵函数是线性函数。
虽然说矩阵函数是线性函数，但是反过来，并不是所有的线性函数都可以改写为矩阵函数。比如 微分和积分 函数
