函数定义
函数就是代表了集合X中的元素和Y中的元素的一种对应关系，这种对应关系中，有四个重要概念，或者称为函数的四要素：
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定义域：集合X
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映射法则f：指明X中的元素怎么和Y中元素关联
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值域：通过映射法f和定义域X决定，表示X映射到Y中的值
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到达域：集合Y
四要素包含了函数f的所有细节，所以，函数f又可以写作：
\[f:X\to Y\]值域因为可以由$f(x),x\in X$来决定，所以上面的代数式没有表示值域。
定义域
规定，如果函数不指明定义域，那么就默认为自然定义域
因为定义域不同，$f(x)=x^2$和$f=x^2,(-2\leq x \leq 2)$是两个不同的函数。
映射法则
单射与非单射
映射法则是单的，简称单射，当且仅当每一个y至多有一个x与之对应。
满射与非满射
映射法则是满的，简称满射，当且仅当每一个y至少有一个x与之对应。此时值域与到达域相等。
非单射非满射与双射
若映射既不是单射，又不是满射，则称为非单射非满射；若映射既是单射，又是满射，则称为双射，或称为一一映射。
值域
值域由定义域和映射法则共同决定。
到达域
似乎有了定义域、映射法则和值域就足够了，为什么需要到达域？至少有以下两个原因：
- 值域不好求。比如下面这个函数的值域就很不好求：
但容易知道，值域一定在$\mathbb{R}$内。此时，可以说该函数的到达域为$\mathbb{R}$，这样就通过到达域给出了值域的大致范围。
- 值域没法求。比如对于下面两个抽象函数：
\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 很显然函数$f+g$的值域是没有办法求出的，但可以知道到达域为$\mathbb{R}$，那么该函数可以表示为：$f+g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
向量函数
如果以向量空间作为自变量，这样的函数就称为向量函数。
矩阵函数
有一类特殊的向量函数，它的自变量是向量空间，因变量也是向量空间，这样的函数称为矩阵函数，通常用A来表示。
列秩
矩阵A的列向量为：
\[A= \begin{pmatrix} {\color{green}{a_{11}}}&{\color{blue}{a_{12}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{1n}}}\\ {\color{green}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{2n}}}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ {\color{green}{a_{m1}}}&{\color{blue}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}} \end{pmatrix} =({\color{green}{\boldsymbol{c_1}}},{\color{blue}{\boldsymbol{c_2}}},\cdots,{\color{purple}{\boldsymbol{c_n}}})\]包含所有列向量的向量组称为列向量组，即：
列向量组： \(\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\}\)
列向量组的张成空间称为列空间，记作$colsp(A)$，即： \(\begin{aligned} colsp(A) &=span(\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\})\\ &=x_1\boldsymbol{c_1}+x_2\boldsymbol{c_2}+\cdots+x_n\boldsymbol{c_n},\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R} \end{aligned}\)
列向量组的秩，也就是列空间的维度，称为列秩，即：
列秩$=rank(colsp(A))$
如果列向量组线性无关，就称为列满秩。
行秩
矩阵A的行向量为：
\[A= \begin{pmatrix} {\color{green}{a_{11}}}&{\color{green}{a_{12}}}&\cdots&{\color{green}{a_{1n}}}\\ {\color{blue}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{blue}{a_{2n}}}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ {\color{purple}{a_{m1}}}&{\color{purple}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{\color{green}{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}}}\\{\color{blue}{\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}}}\\\vdots\\{\color{purple}{\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}}}\end{pmatrix}\]包含所有行向量的向量组称为行向量组，即：
行向量组： \(\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\}\)
行向量组的张成空间称为行空间，记作$rowsp(A)$，即： \(\begin{aligned} rowsp(A) &=span(\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\})\\ &=x_1\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}+x_2\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}+\cdots+x_m\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T},\quad x_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R} \end{aligned}\)
行向量组的秩，也就是行空间的维度，称为行秩，即：
行秩$=rank(rowsp(A))$
如果行向量组线性无关，就称为行满秩。
矩阵的秩
对于任意矩阵，始终有列秩等于行秩，所以统称为矩阵的秩，即：
矩阵的秩=列秩=行秩
矩阵$A$的秩记作$rank(A)$，有时也简写为$r(A)$。
